数学笔记5——导数5(指数函数和对数函数的导数)

 www.56.net     |      2020-01-05

 常微分方程

  含有未知函数的导数,如

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  的方程是微分方程。 一般的,凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。本文主要介绍常微分方程。

  概念往往令人迷惑,还是看看实际的例子:

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  目标是求解x和y的关系。将等式转换:

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  这就是最终答案。

  实际上,常微分的求解过程就是利用不定积分的知识:

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 指数函数的性质

  先来复习一下中学的课程:

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分离变量

  分离变量是求解常微分方程的一种方法,适用于dy/dx = f(x)g(y)的形式。先看下面的示例:

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  在物理学中它有一个专有名称,叫做“淹没算符”。此处没必要去纠结物理学概念,仅需要在数学上求解这个方程。但这个表达式和以往所见的微分表达式不一样,首先将方程展开,将其转换为我们熟悉的形式:

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  想要求解方程,需要继续转换:

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  这就是求得的答案。

  但上述答案只求解了y>0的情况,y≤0时尚未考虑。可以通过求导来验证答案是否是通解:

  令a为任意常数,将解转换为y=ae-x^2/2,当a≠0时,实际上a=±A

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  答案是通解,最终答案是y=ae-x^2数学笔记5——导数5(指数函数和对数函数的导数)。/2,a是任意常数。

  实际上该答案就是正态分布函数,也就是著名的高斯函数,其原型:

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  其中a,b,c∈R

  高斯函数的图形在形状上像一个倒悬着的钟。a表示得到曲线的高度,b是指曲线中心线在x轴的偏移,c半峰宽度(函数峰值一半处相距的宽度)。

  当b=0,c=0,a=5时,图像如下:

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y=ae-x^2/2

指数函数的导数

  对f(x) = ax求导:

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  ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):

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  函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。

  如果y=2xwww.56.net,,则www.56.net 15,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。

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示例

e

  我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质:

  1) (ex)’ = ex

  2) ex在x=0的导数是1

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  当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),www.56.net 18,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜:

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  当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。

示例1

  曲线切线与经过原点的直线相交,曲线在交点的切线是直线斜率的两倍,求曲线表达式。

  首先将上述文字转换为方程,设交点是(x,y),曲线是y=f(x),则曲线切线的斜率为y’,直线斜率为y/x,于是得到下面关系式:

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  通过验证寻找通解,设a=±A,则a为非零的任意常数,y=ax2,验证该解:

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  答案符合最初等式。最终结果是y=ax2,a∈R,x≠0

  当a=1时,曲线y= x2,y’=2x;则在(2,4)点的切线斜率是4,切线是y=4x+b;将(2,4)代入切线,4=4×2+b,b=-4,在(2,4)点的切线为y=4x-4。下图是满足条件的曲线:

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  y=ax2实际上是一族曲线:

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y=ax2

对数的性质

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示例2

  微分方程xdy/dx = (x2+x)(y2+1),求y=f(x)

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  此处需要复习一下三角函数的求导公式:

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  由上面的公式15,

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  验证,已知三角函数公式tan2x+1=sec2x

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自然对数的导数

  自然对数是以e为底的对数,简写做ln

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  y=lne和y=ex互为反函数:

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